第1講確率と確率変数

シュワルツの不等式

{| C o v [X, Y] |}^{2} \leq V [X] V [Y]

$\begin{equation} \left|Cov[X,Y]\right|^2 \le V[X]\,V[Y] \end{equation}$

[証明]

\begin{aligned} V [X + t Y] = V [X] + 2 t C o v [X, Y] + t^{2} V [Y] \end{aligned}

$\begin{align} V[X + tY] = V[X] + 2t\,Cov[X, Y] + t^2\,V[Y] \end{align}$

V [X + t Y] > 0

$V[X + tY] > 0$ であることから，

t

$t$ の 2 次式とみれば，その判別式は負にならなければならない．

\begin{aligned} {| 2 C o v [X, Y] |}^{2} - 4 V [X] V [Y] \leq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \left| 2 Cov[X,Y]\right|^2 - 4\,V[X]\,V[Y] \le 0 \end{align}$

よって，

{| C o v [X, Y] |}^{2} \leq V [X] V [Y]

$\begin{equation} \left|Cov[X,Y]\right|^2 \le V[X]\,V[Y] \end{equation}$