統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2018年06月17日 (日) 試験

問題の要約

• 目標分布 : 混合正規分布

  $$\begin{equation} \frac{1}{4}N(0,~1) + \frac{3}{4}N(6,~1) \end{equation}$$

• 酔歩連鎖によるメトロポリス・ヘイスティングス法を用いて，乱数 $x$ を 10000 個発生させる

Step 1

• 初期値 $x^{(0)}$ を設定する

• $t \leftarrow 0$

• $\alpha > 0$ をひとつ定める

Step 2

$\epsilon \sim U(-a,~a)$

$$\begin{equation} y = x^{(t)} + \epsilon \end{equation}$$

Step 3

• $u \sim U(0,~1)$

  $$\begin{equation} x^{(t+1)} = \left\{ \begin{array}{ll} y, & u \le \alpha(x^{(t)},~y) \\ x^{(t)}, & \text{それ以外} \end{array} \right. \end{equation}$$

• $\alpha(x^{(t)},~y)$ : 採択確率 (C)

Step 4

$t \leftarrow t + 1$

Step 5

• $t \le 1000$ のとき，$x^{(t)}$ は出力しない

• $1000 < t \le 11000$ のとき，$x^{(t)}$ を $t - 1000$ 番目の乱数として出力する

Step 6

• $t = 11000$ なら終了

• それ以外なら Step 2 に戻る

1. • $\pi(x)$ : 目標分布の確率密度関数

   • 採択確率 $\alpha(x^{(t)},~y)$ :

     $$\begin{equation} \alpha(x^{(t)},~y)= \min\left(1,~ \dfrac{\pi(y)}{\pi(x^{(t)})} \right) \end{equation}$$

   • $\phi(\cdot)$ : 標準正規分布の確率密度関数

   • Step 3 の採択確率 (C) を $\phi(\cdot)$ を用いて表わせ

2. • Step 1 で初期値を $x^{(0)} = 6$

   • 図 (ア) 〜 (ウ) は，$a = 0.1,~1,~6$ のいずれかに設定したときの 10000 個の乱数 (図は省略)

   • (ア) 〜 (ウ) に対応する $a$ の値はそれぞれいくつか，理由も含めて述べよ

3. Step 5 で，$x^{(1)},~\ldots,~x^{(1000)}$ を出力に加えない理由を説明せよ

解答

1. 答 :

   $N(0,~1)$ の確率密度関数は，$\phi(x)$．$N(6,~1)$ の確率密度関数は，$\phi(x)$ を右方向へ 6 平行移動させたものであるから，$\phi(x - 6)$ となる．よって，目標分布の確率密度関数 $\pi(x)$ は，

   $$\begin{equation} \pi(x) = \frac{1}{4}\phi(x) + \frac{3}{4}\phi(x - 6) \end{equation}$$
   よって，採択確率 $\alpha(x^{(t)},~y)$ は，
   $$\begin{equation} \alpha(x^{(t)},~y) = \min\left(1,~\dfrac{\dfrac{1}{4}\phi(y) + \dfrac{3}{4}\phi(y - 6)}{\dfrac{1}{4}\phi(x^{(t)}) + \dfrac{3}{4}\phi(x^{(t)} - 6)}\right) \end{equation}$$

2. 答 : (ア) $a = 1$，(イ) $a = 6$，(ウ) $a = 0.1$

   ※略解より抜粋

   (根拠)

   ステップ幅が小さいほど，右の山に推移しにくくなる．標準偏差が 1，期待値の差が 6 であることからも a = 0.1，1，6 と大きくなるにつれて安定度が増すと考えられるから．

3. 答 : ※略解より抜粋

   繰り返し数が少ない段階では，初期値の影響を受けるため．