統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2018年06月17日 (日) 試験

選択問題及び部分記述問題 問1

問題の要約
  • ある感染症: 1000人に 1人の割合で感染

  • 検査1:

    • 本当に感染していた場合,99.9% で陽性反応

    • 感染していない場合,0.1% で陽性反応

  • 検査2:検査1で陽性と診断された者に対して実施

    • 検査1 で陽性と診断された者が本当に感染していた場合,検査2 は 95% で陽性反応

    • 検査1 で陽性と診断されたものが実際は感染していない場合,検査2 は 5% で陽性反応

    • A さんが検査1 を受診し,結果は陽性

    • Aさんが本当に感染している確率を求めよ

    1. さらに,A さんは検査2 を受診し,結果は陽性

    2. Aさんが本当に感染している確率を求めよ

解答

P(感染)=0.001

検査1

P(X1=陽性Y=感染)=0.999
P(X1=陽性Y=非感染)=0.001

検査2

P(X2=陽性X1=陽性, Y=感染)=0.95
P(X2=陽性X1=陽性, Y=非感染)=0.05

  1. 答 : 50%

    P(Y=感染X1=陽性)    =P(Y=感染, X1=陽性)P(X1=陽性)
    ここで,
    P(X1=陽性, Y=感染)    =P(X1=陽性Y=感染)P(Y=感染)    =0.999×0.001
    P(X1=陽性, Y=非感染)    =P(X1=陽性Y=非感染)P(Y=非感染)    =0.001×(10.001)    =0.999×0.001
    P(X1=陽性)    =P(X1=陽性, Y=感染)+P(X1=陽性, Y=非感染)    =0.999×0.001+0.999×0.001    =2×0.999×0.001
    よって,
    P(Y=感染X1=陽性)    =P(Y=感染, X1=陽性)P(X1=陽性)    =0.999×0.0012×0.999×0.001    =12    =0.5

  2. 答 : 95%

    P(Y=感染X1=陽性, X2=陽性)    =P(Y=感染, X1=陽性, X2=陽性)P(X1=陽性, X2=陽性)
    ここで,
    P(Y=感染, X1=陽性, X2=陽性)    =P(X2=陽性X1=陽性, Y=感染)P(X1=陽性, Y=感染)    =0.95×0.999×0.001
    P(Y=非感染, X1=陽性, X2=陽性)    =P(X2=陽性X1=陽性, Y=非感染)P(X1=陽性, Y=非感染)    =0.05×0.001×(10.001)    =0.05×0.999×0.001
    P(X1=陽性, X2=陽性)    =P(Y=感染, X1=陽性, X2=陽性)+P(Y=非感染, X1=陽性, X2=陽性)    =0.95×0.999×0.001+0.05×0.999×0.001    =0.999×0.001
    よって,
    P(Y=感染X1=陽性, X2=陽性)    =P(Y=感染, X1=陽性, X2=陽性)P(X1=陽性, X2=陽性)    =0.95×0.999×0.0010.999×0.001    =0.95