統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年11月27日 (日) 試験

問題の要約

• $(X, Y) \sim N\left(\begin{pmatrix}\mu_X \\ \mu_Y\end{pmatrix},~\begin{pmatrix}{\sigma_X}^2 & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & {\sigma_Y}^2 \\\end{pmatrix}\right)$

• 互いに独立な観測データ

  $$\begin{equation} (X_1,~Y_1),~\ldots,~(X_m,~Y_m),~(X_{m+1},~?),~\ldots,~(X_{n},~?) \end{equation}$$
  ここで，? は欠測値を表す．
  $$\begin{equation} \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{equation}$$
  $$\begin{equation} S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \bar{X}_{(1)} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}X_i \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \bar{X}_{(0)} = \frac{1}{n-m}\sum_{i=m+1}^{n}X_i \end{equation}$$

• $H_0$ : $Y$ の欠測のメカニズムは完全にランダム (Missing Complotely At Random: MCAR)

• MCAR であれば，$X_1, \ldots, X_m$ の分布と $X_{m+1}, \ldots, X_n$ の分布は等しい．

• それらの平均が共に全体の平均に等しいか検定する．ただし，それらの分散は等しいとする．

• 次の検定統計量を用いて $H_0$ を検定する．

  $$\begin{equation} d^2 = \frac{1}{S^2}\left\{m(\bar{X}_{(1)} - \bar{X})^2 + (n - m)(\bar{X}_{(0)} - \bar{X})^2\right\} \end{equation}$$