第7講 確率過程・時系列解析

ポアソン過程

ある時間間隔 t の間に事象が何回起こるかをカウントしてみる. このカウントの回数 N=N(t) は離散確率変数であり,その分布は P(N(t)=k) と書く.

今,区間 [0,t]n 個の等分時間に分け,k 個の事象はこの中のどこかに重複しないで入ることにすると, その確率は二項分布となる.

P(N=k)=nCk(λtn)k(1λtn)nk
ここで,n とすると,
P(N=k)=n(n1)(n2)(nk+1)k!(λt)knk(1λtn)n(1λtn)k=n(n1)(n2)(nk+1)nk(1λtn)k(λt)kk!(1λtn)nλt(λt)=1(11n)(12n)(1k1n)(1λtn)k(λt)kk!(1λtn)nλt(λt)(λt)kk!exp[λt]    (n)

ある事象が起こってから次の事象が起こるまでの時間を T とする. 時刻 t を決めると,事象が時刻 0 から t までに一度も起こらない確率は, P(N=0) の二項分布から

P(T>t)=(1λtn)nexp[λt]    (n)
時刻 0 から t までに事象が起こる確率は
P(Tt)=1exp[λt]    (t0)

ポアソン過程の性質 (1)

  1. 独立増分性

    0<t1<t2<t3< として,Nt1, Nt2Nt1, Nt3Nt2,  は独立

  2. 定常増分性

    0<s<t として,NtNsPo(λ(ts))

ポアソン過程の性質 (2)

E[Nt]=λt
V[Nt]=λt
0<s<t とする.
E[NsNt]=E[Ns(Ns+NtNs)]=E[Ns2]+E[Ns(NtNs)]=E[Ns2]+E[Ns]E[NtNs]=V[Ns]+(E[Ns])2+E[Ns]E[Nts]=λs+(λt)2+λsλ(ts)=λs+(λt)2+λsλt(λs)2=λs+λsλt
Cov[NsNt]=E[NsNt]E[Ns]E[Nt]=λs+λsλtλsλt=λs

ポアソン過程の性質 (3)

P(T2>3T1)=P(T2T1>2T1)=E[P(T2T1>2T1T1)]=E[eλ(2T1)]=E[e(2λ)T1]=λλ(2λ)=13

ポアソン過程の性質 (4)

E[N3tNt=x]=E[N3tNt+NtNt=x]=E[N3tNt+xNt=x]=E[N3tNtNt=x]+x=E[N3tNt]+x=E[Po(2t)]+x=2λt+x
V[N3tNt=x]=V[N3tNt+NtNt=x]=V[N3tNt+xNt=x]=V[N3tNtNt=x]=V[N3tNt]=V[Po(2t)]=2λt

ポアソン過程の性質 (5)

P(Nt=kN3t=l)=P(Nt=kN3t=l)P(N3t=l)=P(Nt=kN3tNt=lk)P(N3t=l)=P(Nt=k)P(N3tNt=lk)P(N3t=l)=lCk(13)l(23)lk B(l,13)
E[NtN3t=l]=l3
E[NtN3t]=N3t3

補足1: ポアソン分布の別の導出方法

i 回目の事象が起こる時刻を Ti とすると,

TiTi1Exp(λ)
また,
Ti=(TiTi1)++(T2T1)+T1
であるので,Tii 回の指数分布の独立試行した結果の合計といえるので, ガンマ分布の再生性より,
TiGa(i,λ)
よって,
P(Ntk)=P(Tk+1>t)
P(Nt=k)=P(Ntk)P(Ntk1)=P(Tk+1>t)P(Tk>t)=tλk+1Γ(k+1)x(k+1)1eλxdxtλkΓ(k)xk1eλxdx=t(λkΓ(k+1)xkeλx)dx=(λt)kk!eλt