第7講 確率過程・時系列解析
ポアソン過程
ある時間間隔 の間に事象が何回起こるかをカウントしてみる.
このカウントの回数 は離散確率変数であり,その分布は と書く.
今,区間 を 個の等分時間に分け, 個の事象はこの中のどこかに重複しないで入ることにすると,
その確率は二項分布となる.
ここで,
とすると,
ある事象が起こってから次の事象が起こるまでの時間を とする.
時刻 を決めると,事象が時刻 0 から までに一度も起こらない確率は,
の二項分布から
時刻 0 から
までに事象が起こる確率は
ポアソン過程の性質 (1)
-
独立増分性
として, は独立
-
定常増分性
として,
ポアソン過程の性質 (2)
とする.
ポアソン過程の性質 (3)
ポアソン過程の性質 (4)
ポアソン過程の性質 (5)
補足1: ポアソン分布の別の導出方法
回目の事象が起こる時刻を とすると,
また,
であるので,
は
回の指数分布の独立試行した結果の合計といえるので,
ガンマ分布の再生性より,
よって,