第5講 回帰分析

予測値の信頼区間

x=x0 に対する y の期待値 η0 の信頼区間

y0=β0^+β1^x0
E[y0]=E[β0^]+E[β1^]x0=β0+β1x0=η0
V[y0]=V[β0^+β1^x0]=V[β0^]+V[β1^]x02+2Cov[β0^,β1^]x0=σ2(1n+x¯2Sxx)+σ2Sxxx022x¯σ2Sxxx0=σ2{1n+(x0x¯)2Sxx}
y0β^0,β^1 の一次式であり,β^0,β^1 は正規分布に従う yi の一次式である. よって,y0 も正規分布に従う. y0 を標準化し,未知の誤差分散 σ2 に不偏推定値 s2 を代入すると,
y0η0s2{1n+(x0x¯)2Sxx}t(n2)
よって,η0=E[yx=x0] の信頼率 1α の信頼区間は,
y0tα(n2)s2{1n+(x0x¯)2Sxx}η0y0+tα(n2)s2{1n+(x0x¯)2Sxx}

x=x0 に対する y の信頼区間

E[y0y]=E[y0]E[y]=η0η0=0
V[y0y]=V[y0]+V[y]=σ2{1n+(x0x¯)2Sxx+1}
y0y を標準化し,未知の誤差分散 σ2 に不偏推定値 s2 を代入すると,
y0ys2{1n+(x0x¯)2Sxx+1}t(n2)
よって,
y0tα(n2)s2{1n+(x0x¯)2Sxx+1}yy0+tα(n2)s2{1n+(x0x¯)2Sxx+1}